Математическая индукция.....и всё, что к ней прилагаеться. (строго для личных размышлений)

Математическая индукция — в математике — один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база индукции, а затем доказывается, что если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

Точное описание
Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами: P1,P2,.....,Pn,Pn + 1.
Допустим, что
1.Установлено, что P1 верно. (Это утверждение называется базой индукции.)
2.Для любого n доказано, что если верно Pn, то верно Pn + 1. (Это утверждение называется индукционным переходом.)
Тогда все утверждения нашей последовательности верны.
Логическим основанием для этого метода доказательства служит так называемая аксиома индукции, пятая из аксиом Пеано, определяющих натуральные числа. Верность метода индукции эквивалентна тому, что в любом подмножестве натуральных чисел существует минимальный элемент.

Существует также вариация, так называемый принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:
Пусть имеется последовательность утверждений P1,P2,P3. Допустим, что:
1.Установлено, что P1 верно.
2.Для любого натурального n доказано, что если верны все , то верно и Pn+1. (Это утверждение называется индукционным переходом.)
Тогда все утверждения в этой последовательности верны.
Принцип полной математической индукции также эквивалентен аксиоме индукции в аксиомах Пеано.

Аксиомы Пеано — одна из систем аксиом для натуральных чисел.
Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства многих свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел.
Как следует из теоремы Гёделя о неполноте, существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано. Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую формулировку, например, Теорема Гудстейна (англ.).
1.1 является натуральным числом;
2.Число, следующее за натуральным, также является натуральным;
3.1 не следует ни за каким натуральным числом;
4.Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
5.(Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предложение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.




 
Locations of visitors to this page